Geometria Analítica

Um bom ensino da Matemática forma melhores hábitos de pensamento e habilita o indivíduo a usar melhor a sua inteligência. (Irene de Albuquerque)

domingo, outubro 22, 2006

Superfícies Quádricas

Um bom ensino da Matemática forma melhores hábitos de pensamento e habilita o indivíduo a usar melhor a sua inteligência. (Irene de Albuquerque)

Superfícies Quádricas

Uma equação geral do segundo grau com três variáveis(x, y e z) , onde pelo menos um dos coeficientes a, b, c,d , e ou f é diferente zero, representa uma superfície quádrica, ou simplesmente, uma quádrica.
Se a superfície quádrica, for cortada pelos planos coordenados ou por planos paralelos a eles, a curva de interseção será uma cônica. A interseção de uma superfície com um pano é chamado de traço da superfície no plano.a redução da equação geral das quádrica ás suas formas mais simples exige cálculos laboriosos.

Superfícies de Revolução:

É a superfície gerada por uma curva plana( chamada geratriz) que gira 360º em torno de uma reta ( eixo) situada no plano da curva. Neste caso, o tração da superfície num plano perpendicular ao eixo é uma circunferência e a equação da superfície de revolução é obtida através da geratriz.

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Elipsóide

Ao girarmos uma elipse em torno de um eixo, obtemos uma elipsóide de revolução, cuja equação será obtida da equação da elipse.
Obs.: O coeficiente “ a” sempre estará no denominador do eixo de simetria.
Quando a=b=c, temos uma esfera.



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Hiperbolóide de uma folha

• Hiperbolóide de uma folha: A rotação de um hiperbolóide em torno de um eixo, resulta numa hiperbolóide de uma folha, cuja equação será obtida da equação da hipérbole.
• Obs.: quem tiver o sinal negativo na fórmula, terá o denominador “c” e será o próprio eixo de rotação.

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Hiperbolóide de duas folhas

• Hiperbolóide de duas folhas: A rotação da hipérbole em torno de um eixo resulta numa hiperbolóide de duas folhas.
• Obs.: Na fórmula, quem está positivo possui o denominador “ c” e será o eixo de simetria. Sinal negativo acompanhando a quadratura, não intercepta o eixo.

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Superfícies cônicas

Consideremos num plano uma reta(geratriz), a rotação desta em torno de um eixo resulta numa superfície de revolução cônica circular

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Parabolóides

Na parabolóide não aparece quadratura para todos os valores.



Parabolóide (Caso particular do parabolóide elíptico)


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Parabolóide elíptico

• Parabolóide elíptico: a rotação de uma parábola em torno de um eixo resulta numa parabolóide de revolução, cuja equação será obtida através da equação de uma parábola, a arabolóide elíptico, resulta dessa rotação, onde existe uma elipse.


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Parabolóide Hiperbólico ou Sela

• Parabolóide hiperbólico: nesta parabolóide, falta uma quadratura na equação e o sinal negativo, isso implica numa hipérbole. Mais conhecida também como sela, um caso particular das parabolóides.


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Parabolóide Degenerado

Neste caso duas parabolas e uma reta.

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Cilindro

São originados das cônicas ,mas em dimensão 3.

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Superfícies cilíndricas

Seja C uma curva plana e “ r” uma reta fixa não paralela ao plano ‘c. Superfície cilíndrica é a superfície gerada por uma reta g que se move paralelamente á reta fixa r em contato permanente com a curva plana C.
A reta g que se move é denominada geratriz e a curva C é a diretriz da superfície cilíndrica. Esta superfície pode ser vista como um conjunto de infinitas retas paralelas que são as infinitas posições da geratriz. A diretriz é uma curva que se encontra num dos planos coordenados e a geratriz é uma reta paralela ao eixo perpendicular ao plano da diretriz.
Conforme a diretriz seja uma circunferência, elipse, hipérbole ou parábola, a superfície cilíndrica é chamada circula, elíptica, hiperbólica ou parabólica.

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