Geometria Analítica

Um bom ensino da Matemática forma melhores hábitos de pensamento e habilita o indivíduo a usar melhor a sua inteligência. (Irene de Albuquerque)

domingo, outubro 22, 2006

Reta e Plano



A RETA

Equação vetorial e equações paramétricas da reta:
No plano, uma reta pode ser determinada sendo conhecidos um de seus pontos e a sua inclinação (direção). A equação da reta pode então ser escrita utilizando-se a forma ponto-inclinação.
Da mesma maneira, uma reta no espaço fica determinada quando conhecemos um de seus pontos e a sua direção. O problema nesse caso é como determinar a direção da reta. Esse problema é facilmente resolvido usando-se o que aprendemos sobre vetores: a direção de uma reta, em duas ou três dimensões, pode ser descrita de uma forma muito conveniente por um vetor, como faremos a seguir.
Considere uma reta, um ponto pertencente a L e um vetor v , paralelo a L. Determinar a equação da reta L é equivalente a determinar as coordenadas de um ponto arbitrário P de coordenadas ( x , y , z ) em L. Para isso, vamos considerar os vetores ro e r , como os vetores posição de e de P , respectivamente.
Se a é o vetor, pela regra do trapézio para subtração de vetores temos a = r - ro , isto é, r = ro + a . Mas, como a e v são vetores paralelos, então a é um múltiplo escalar de v , isto é, a = t v onde t é um número real. Assim, r = ro + t v , que é a equação vetorial da reta L. Repare que dessa maneira, obtemos as coordenadas do vetor r e, consequentemente, as coordenadas do ponto P sobre a reta, em função das coordenadas do ponto , cujo vetor posição é ro , e do vetor v , que determina a direção da reta L. Cada valor do parâmetro t fornece um vetor posição r de um ponto de L.
Podemos escrever a equação vetorial r = ro + t v em termos das coordenadas dos vetores r , ro e v .
Como a igualdade de vetores implica na igualdade de seus correspondentes componentes, da equação vetorial acima resulta três equações escalares:
x = x'+ at ; y = y'+ bt ; z = z'+ tc , onde t é um número real.
As equações escalares acima são chamadas equações paramétricas da reta L que passa pelo ponto e é paralela ao vetor v = (a , b , c) . Cada valor do parâmetro t fornece um ponto P ( x , y , z ) da reta L.

EQUAÇAO DA RETA NA FORMA SIMETRICA:

Podemos eliminar o parâmetro t das equações paramétricas de uma reta. Para isso, se nenhum dos números a , b e c é zero, podemos resolver cada uma das equações para t e igualar os resultados. Desse modo, obtemos:
x-x'=y-y'=z-z'
a b c
Essas equações são chamadas equações simétricas de L. Observe que os números a, b e c que aparecem no denominador desta equação são as componentes do vetor diretor de L, isto é, as componentes de um vetor paralelo a L e, portanto, determinam a direção da reta L.

Consideremos um plano e duas retas perpendiculares, sendo uma delas horizontal e a outra vertical. A horizontal será denominada Eixo das Abscissas (eixo OX) e a Vertical será denominada Eixo das Ordenadas (eixo OY). Os pares ordenados de pontos do plano são indicados na forma P=(x,y) onde x será a abscissa do ponto P e y a ordenada do ponto P.
Na verdade, x representa a distância entre as duas retas verticais indicadas no gráfico e y é a distância entre as duas retas horizontais indicadas no gráfico. O sistema de Coordenadas Ortogonais é conhecido por Sistema de Coordenadas Cartesianas e tal sistema possui quatro regiões denominadas quadrantes.

Retas no plano cartesiano
Na Geometria Euclidiana, dados dois pontos P1=(x1,y1) e P2=(x2,y2) no plano cartesiano, existe uma única reta que passa por esses pontos. Para a determinação da equação de uma reta existe a necessidade de duas informações e dois conceitos importantes são: o coeficiente angular da reta e o coeficiente linear da reta.

Coeficiente angular de uma reta: Dados os pontos P1=(x1,y1) e P2=(x2,y2), com x1 x2, o coeficiente angular k da reta que passa por estes pontos é o número real

Significado geométrico do coeficiente angular: O coeficiente angular de uma reta é o valor da tangente do ângulo alfa que a reta faz com o eixo das abscissas.

Se o ângulo está no primeiro quadrante ou no terceiro quadrante, o sinal do coeficiente angular é positivo e se o ângulo está no segundo quadrante ou no quarto quadrante, o sinal do coeficiente angular é negativo.

Declividade de uma reta: A declividade indica o grau de inclinação de uma reta. O fato do coeficiente angular ser maior que outro indica que a reta associada a este coeficiente cresce mais rapidamente que a outra reta. Se um coeficiente angular é negativo e o módulo deste é maior que o módulo de outro coeficiente, temos que a reta associada ao mesmo decresce mais rapidamente que a outra.

Se o coeficiente angular é nulo, a reta é horizontal.

Coeficiente linear de uma reta: é a ordenada (altura) w do ponto (0,w) onde a reta cortou o eixo das ordenadas.

Retas horizontais e verticais: Se uma reta é vertical ela não possui coeficiente linear e coeficiente angular. Assim, a reta é indicada apenas por x=a, a abscissa do ponto onde a reta cortou o eixo OX.
Se uma reta é horizontal, o seu coeficiente angular é nulo e a equação desta reta é dada por y=b, ordenada do ponto onde está reta corta o eixo OY.


Equação reduzida da reta:
Dado o coeficiente angular k e o coeficiente linear w de uma reta, então poderemos obter a equação da reta através de sua equação reduzida dada por: y=kx + w

Reta que passa por um ponto e tem coeficiente angular dado: Uma reta que passa por um ponto P=(xo,yo) e tem coeficiente angular k, é dada por:
y - yo = k (x - xo)

Retas paralelas: Duas retas no plano são paralelas se ambas são verticais ou se têm os mesmos coeficientes angulares.
Retas perpendiculares: Duas retas no plano são perpendiculares se uma delas é horizontal e a outra é vertical, ou, se elas têm coeficientes angulares k' e k" tal que k'k"=-1.

Área de um triângulo por determinante
Dado um ponto (x1,y1) localizado fora de uma reta que passa pelos pontos (x2,y2) e (x3,y3), pode-se calcular a área do triângulo cujos vértices são estes três pontos, bastando para isto determinar a medida da base do triângulo que é a distância entre (x2,y2) e (x3,y3) e a altura do triângulo que é a distância de (x1,y1) à reta que contém os outros dois pontos.
Como o processo é bastante complicado, apresentamos um procedimento equivalente muito bonito, simples e fácil de memorizar.
A área do triângulo é dada pela metade do valor absoluto do determinante da matriz indica pela expressão:


Colinearidade de 3 pontos no plano: Três pontos no plano, (x1,y1), (x2,y2) e (x3,y3) são colineares se pertencem à mesma reta.
Um processo simples sugere que estes três pontos formem um triângulo de área nula, assim basta verificar que o determinante da matriz abaixo deve ser nulo.



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A equação geral do plano

Um plano é uma entidade geométrica formada por infinitas retas e infinitos pontos. Para traçar um plano, três pontos não-alinhados são necessários. O plano tem duas dimensões, ou seja tem altura e largura ou altura e comprimento ou largura e comprimento, por isso, é chamado de bidimensional.

Representação de um plano
Um plano é representado por uma letra minúscula do alfabeto grego, geralmente α ou β ou por três pontos distintos do plano.

Equação: a.x'+ b.y'+ c.z'+ d = 0

Onde n=(a,b,c) é um vetor normal (perpendicular) ao plano. Onde P=(x,y,z) é um ponto desse plano. E d é um número real que satisfaça a equação.

ÂNGULO ENTRE DOIS PLANOS
O ângulo entre os planos é definido como o ângulo entre estas duas retas(normais). Entao, se calcula o angulo entre duas retas, como já foi apresemtando anteriormente.

ÂNGULO DE RETA COM PLANO

O ângulo entre uma reta r e um plano, quando eles se interceptam em um ponto, é definido como sendo o menor ângulo possível entre todos os ângulos que a reta r faz com as retas contidas no plano que a interceptam. Este menor ângulo é realizado justamente pela reta do plano que é a projeção ortogonal da reta r. Uma outra maneira de ver isso é dizer que o ângulo entre uma reta e um plano é o ângulo mínimo entre o plano e a reta dentre todas as visões de perfil possíveis do plano.
Se a reta nunca intercepta o plano ou está inteiramente contida no plano (isto é, ela é paralela ao plano), o ângulo entre a reta e o plano é igual a 0.

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